Dimostrazione della curvatura dello spazio-tempo, con l’astronave di Feynman
Nel paragrafo 6.6
del suo libro “Sei pezzi meno facili”, Feynman dimostra lo scostamento tra due
orologi situati a quote diverse e, quindi, la curvatura dello spazio-tempo.
Ecco il link per ottenere il libro, anche se in lingua inglese
https://nirstern.files.wordpress.com/2016/04/six-not-so-easy-pieces.pdf
Feynman trova anche il valore numerico dello scostamento per 20 metri di
dislivello, e cioè 2x10^(-15).
Lo dimostra ragionando su un'astronave accelerata, in cui si capisce che se si
mandano due segnali da prua a poppa distanziati di un secondo, essi arrivano
distanziati di meno di un secondo. Quindi per un osservatore accanto
all’orologio a poppa, quello a prua va più veloce.
Dopo di che pone l'astronave sulla superficie terrestre ed usa il Principio di
Equivalenza (PE) per dedurre che l'effetto che si vedeva nell'astronave
accelerata si deve vedere anche nel campo gravitazionale terrestre.
Faccio rilevare,
però, che il PE riguarda quanto viene percepito e non solo la realtà (Feynman
usa i termini “seems”, “appears” anche evidenziato), perché nella realtà, per
quanto riguarda la velocità degli orologi e la curvatura dello spazio-tempo, c’è
una grande differenza tra i due casi.
Perché nel caso dell’astronave sulla Terra, esiste il campo gravitazionale per
cui lo spazio–tempo è curvo e, quindi, l’orologio a prua va veramente più veloce
di quello a poppa.
Invece nel caso dell’astronave in accelerazione, non c’è il campo gravitazionale
per cui lo spazio-tempo è piatto e, quindi, l’orologio a prua va alla stessa
velocità di quello a poppa. Però a causa dell’accelerazione, tra l’arrivo del
primo segnale e quello del secondo, l’astronave aumenta la sua velocità, per cui
diminuisce la distanza percorsa dal segnale e di conseguenza anche il suo tempo
di percorrenza (vedasi figure 6.16 e 6.17 e relative spiegazioni). Pertanto si
riduce l’intervallo tra l’arrivo del primo segnale e quello del secondo, per cui
ad un osservatore a poppa sembra che l’orologio a prua vada più veloce, anche se
in realtà va alla stessa velocità.
Oltre
all’equivalenza sopra esposta, in base al PE quanto viene percepito in
un’astronave non accelerata nello spazio senza campi gravitazionali, è
equivalente a quanto viene percepito in un’astronave in caduta libera in un
campo gravitazionale.
Feynman non ha dimostrato questo fenomeno, per cui mi propongo di farlo io qui
di seguito.
Se l’astronave ha i
motori spenti ed è lontana da campi gravitazionali, i due orologi vanno alla
stessa velocità. E poiché non è accelerata, la distanza temporale di partenza
dei due segnali corrisponde a quella di arrivo.
Per cui ad un osservatore accanto all’orologio a poppa, risulta che l’orologio a
prua va alla stessa velocità di quello a poppa, come è in realtà.
Per il PE anche se l’astronave fosse in caduta libera in un campo
gravitazionale, l’osservatore accanto all’orologio a poppa, dovrebbe rilevare
che l’orologio a prua va alla stessa velocità.
Cosa che dimostrerò qui di seguito.
Inizio col caso più
corretto e cioè quello dell’astronave in caduta libera verticale con la poppa
posizionata verso la Terra.
Poiché siamo in uno spazio–tempo curvo, l’orologio a prua va più veloce di
quello a poppa. Però a causa dell’accelerazione gravitazionale, tra l’arrivo del
primo segnale e quello del secondo, l’astronave aumenta la sua velocità verso la
Terra, per cui aumenta la distanza percorsa dal segnale e di conseguenza anche
il suo tempo di percorrenza, (l’aumento corrisponde alla differenza di velocità
tra i due orologi). Pertanto aumenta l’intervallo tra l’arrivo del primo segnale
e quello del secondo, per cui all’osservatore a poppa sembra che l’orologio a
prua vada alla stessa velocità di quello a poppa, anche se in realtà va più
veloce.
Quindi in questo caso il PE funziona.
Veniamo ora al caso
dell’astronave che sta girando attorno alla Terra, come un satellite
artificiale, sempre con la poppa posizionata verso Terra.
In questo caso l’astronave non sta cadendo verticalmente verso la Terra, in
quanto la forza di gravità viene bilanciata dalla forza di accelerazione
centrifuga. Quindi l’astronave non aumenta la sua velocità a causa
dell’accelerazione gravitazionale, tra il primo ed il secondo segnale.
Pertanto abbiamo l’orologio a prua che va più veloce, in quanto più distante
dalla superficie della Terra, ma tra il primo segnale ed il secondo, l’astronave
non aumenta la sua velocità verso la Terra, per cui l’osservatore accanto
all’orologio a poppa “dovrebbe” rilevare che l’orologio a prua va più veloce,
come è anche nella realtà.
Pertanto sembrerebbe che il PE non sia valido per la velocità degli orologi, per
questo caso.
Però, se ho capito bene quanto ha scritto, Fabri, per quanto riguarda la
curvatura dello spazio-tempo, anziché considerare la distanza dalla Terra,
considera la distanza dal centro dell’astronave. Per cui essendo gli orologi ad
una distanza uguale dal centro dell’astronave, si troverebbero in luoghi con la
stessa curvatura dello spazio-tempo e, quindi, andrebbero alla stessa velocità.
Per cui il PE funzionerebbe.
Ma poiché non sono riuscito a trovare conferme sperimentali per questa ipotesi,
non posso considerare questo caso come una prova del PE.
Comunque per dimostrare il PE, mi è sufficiente il primo caso, nel quale non c’è
la forza centrifuga a “disturbarlo”.
Con quanto sopra
credo di aver dimostrato che il PE non vale per la curvatura dello spazio-tempo,
perché questo è piatto per l’astronave accelerata e curvo per l’equivalente
astronave posata sulla Terra, ed è piatto per l’astronave non accelerata nello
spazio senza campi gravitazionali e curvo per l’equivalente astronave in caduta
libera verso la Terra.
Pertanto, a mio parere, l’affermazione di Fabri “Ma se vale il PE, non è
possibile che lo spazio-tempo sia piatto nel caso dell'astronave accelerata e
curvo per quella ferma sulla Terra!”, non è corretta.
Nel paragrafo 6.7
basandosi sui ragionamenti esposti nel paragrafo 6.6, Feynman dimostra la
curvatura dello spazio-tempo aiutandosi col grafico di cui figura 6.18.
Che Fabri ha contestato.
Mentre io ritengo che esso sia corretto (soprattutto perché l’autore è Feynman)
e adeguato allo scopo che si prefigge, che è quello di completare una
dimostrazione dell’esistenza della curvatura dello spazio-tempo, in modo
semplice ed alla portata di molti, il sottoscritto compreso.
Se poi sia possibile dimostrare in modo più preciso e rigoroso la curvatura dello spazio-tempo, tramite le forze mareali, come ha fatto Fabri (ma con delle formule matematiche di livello elevato, che dimostrano la sua preparazione e capacità, ma che non mi hanno consentito di comprendere la dimostrazione), ciò non significa che la dimostrazione di Feynman non sia almeno corretta.
P.S.
Per amor di sincerità, faccio presente che nei miei scritti, al posto della
curvatura dello spazio-tempo, io considero la densità dello spazio.
Dino Bruniera
E-mail:
dino.bruniera@gmail.com